在高考数学中，组合数问题常通过递推法高效求解。递推法的核心是组合数递推公式：

[ C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m) ]

其逻辑是：从( n )个元素中选( m )个，可分为两种情况：选某个特定元素（需再从剩下的( n-1 )个中选( m-1 )个）或不选该元素（需从剩下的( n-1 )个中选( m )个）。以下是具体应用方法及真题解析：

一、递推法的核心步骤

1. 确定初始条件

  • ( C(n, 0) = 1 )（不选任何元素仅一种情况）
  • ( C(n, n) = 1 )（全选仅一种情况）
  • 当( n < m )时，( C(n, m) = 0 )。

    • 2. 构建递推关系

    按递推公式逐层计算，利用二维数组或表格记录中间结果，避免重复计算。例如：

    [

    begin{align}

    C(5, 2) &= C(4, 1) + C(4, 2)

    &= (C(3, 0) + C(3, 1)) + (C(3, 1) + C(3, 2))

    &= 1 + 3 + 3 + 3 = 10

    end{align}

    ]

    二、高考真题中的典型应用

    例1：分组问题（隔板法递推）

    题目：将10个相同球分给3人，每人至少1个，求分法数。

    解析：

  • 转化为“在9个间隔中插2个板”，即求( C(9, 2) )。
  • 递推计算：

    • [

    C(9, 2) = C(8, 1) + C(8, 2) = 8 + 28 = 36

    ]

    答案：36种。

    考点：隔板法与递推公式结合。

    例2：概率递推问题

    题目：开关第( n )次闭合后出现红灯的概率( P_n )，已知初始条件和状态转移关系。

    解析：

  • 根据前次状态（红灯或绿灯）建立递推式：

    • [

    P_n = frac{1}{3}P_{n-1} + frac{3}{5}(1-P_{n-1})

    ]

  • 化简后转化为等比数列，求得通项公式。

    • 关键：将概率问题转化为递推数列模型。

    例3：路径计数问题

    题目：网格中从( (0,0) )到( (m,n) )的最短路径数（仅能向右或向上）。

    解析：

  • 递推公式：( C(m+n, m) = C(m+n-1, m-1) + C(m+n-1, m) )。
  • 初始条件：边界点路径数均为1。

    • 答案：( C(m+n, m) )，即组合数递推的直接应用。

    三、常见错误与技巧

    1. 边界条件遗漏：如未处理( C(n, 0) = 1 )或( n < m )的情况，导致计算错误。

    2. 递推方向错误：需按( n )从小到大逐层计算，避免跳跃。

    3. 对称性优化：利用( C(n, m) = C(n, n-m) )减少计算量。例如，计算( C(10, 8) )时可直接求( C(10, 2) )。

    4. 表格法记录：构建二维表格存储中间结果，适合复杂递推问题（如动态规划类题目）。

    递推法在高考组合数问题中应用广泛，尤其适合以下场景：

  • 分组分配问题（如分球、分物品）。
  • 路径计数与状态转移问题（如网格路径、开关概率）。
  • 递推数列与概率结合问题。

    • 通过掌握递推公式的底层逻辑（分情况讨论）和优化技巧（对称性、表格法），可快速解决此类题目。