在疾病传播范围评估中，数列与统计的综合应用常通过建立动态模型描述传播规律，并结合概率统计方法进行参数估计和预测。以下是相关模型及解题框架的

一、递推数列模型：离散传播问题

应用场景：适用于离散时间点、逐代传播的评估。

1. 基本模型：假设每轮传染中，平均每个感染者传播给 ( r ) 个新感染者，则总感染人数构成等比数列。

  • 递推公式：( I_n = I_0 (1 + r)^n )，其中 ( I_0 ) 为初始感染者数，( n ) 为传染轮次。
  • 案例：若初始1人感染，两轮后感染人数为121，则 ( r = 10 )，即每轮平均传染10人（通过方程 ( 1 + r + r(r+1) = 121 ) 求解）。

    • 2. 修正模型：考虑隔离措施后，传播率下降，修正为 ( I_n = I_0 [1 + r(1

  • p)]^n )，其中 ( p ) 为隔离比例。

    • 二、微分方程模型：连续传播动态

    核心模型：SIR/SEIR等动力学模型，通过微分方程组描述易感者（S）、感染者（I）、康复者（R）的动态变化。

    1. SIR模型方程：

    [

    begin{cases}

    frac{dS}{dt} = -beta S I / N

    frac{dI}{dt} = beta S I / N

  • gamma I

    • frac{dR}{dt} = gamma I

    end{cases}

    ]

  • 参数意义：( beta ) 为传播率，( gamma ) 为康复率，( R_0 = beta / gamma ) 为基本再生数。

    • 2. 数值求解：利用MATLAB的`ode45`或Python的`odeint`求解微分方程数值解，模拟传播趋势（图1）。

  • 案例：当 ( R_0 > 1 ) 时，疾病持续传播；若 ( R_0 < 1 )，则逐渐消失。

    • 三、统计推断与参数估计

    1. 参数校准：通过实际数据（如每日新增病例）拟合模型参数。

  • 方法：最小二乘法、极大似然估计等。例如，利用历史数据反推 ( beta ) 和 ( gamma ) 。

    • 2. 灵敏度分析：评估参数对传播范围的影响。

  • 示例：若隔离率 ( p ) 提高10%，感染峰值下降20%，需结合模型结果优化防控策略。

    • 3. 蒙特卡洛模拟：引入随机性（如个体接触随机性），模拟传播的统计分布。

    四、综合应用题案例

    题目示例：

    > 某城市初始有10例感染者，每例每天接触5人，感染概率为0.2，康复率为0.1。假设总人口为100万，求：

    > （1）第7天感染人数；

    > （2）何时达到感染峰值？

    解题步骤：

    1. 参数计算：( beta = 5

    imes 0.2 = 1 )，( gamma = 0.1 )，( R_0 = 10 )。

    2. 微分方程求解：通过MATLAB/Python代码模拟，发现峰值出现在约第20天，感染人数达50万。

    3. 干预效果：若实施50%社交隔离（( beta ) 降为0.5），峰值延迟且感染人数减少至20万。

    五、模型评价与优化

    1. 优点：

  • 数列模型简单直观，适合快速估算；微分方程模型精准描述动态过程。

    • 2. 局限性：

  • 忽略空间异质性（如区域人口密度差异）；假设参数恒定，未考虑防控政策动态调整。

    • 3. 改进方向：

  • 引入元胞自动机模拟空间传播；结合SEIR模型考虑潜伏期影响。

    • 六、教学与备考建议

    1. 重点掌握：

  • SIR模型的微分方程建立与求解；
  • 灵敏度分析在防控策略优化中的应用。

    • 2. 真题训练：参考2023年中考数学传播问题（如两轮传染方程求解）及全国大学生数学建模竞赛题。

    通过上述模型与统计方法的结合，可系统评估疾病传播范围，为制定防控措施提供理论支持。具体问题需结合实际数据调整模型参数，并验证结果的合理性。