以下是高考真题中涉及无穷级数收敛性的典型例题精讲，结合不同判别方法进行分类解析，帮生掌握解题思路和技巧：

一、正项级数判别法

例题1：判断级数 (sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}) 的敛散性（p级数）

解析：

  • p级数收敛条件：当 (p > 1) 时收敛，(p leq 1) 时发散。
  • 证明思路：

    • 1. 比较判别法：当 (p leq 1)，(frac{1}{n^p} geq frac{1}{n})，而调和级数 (sum frac{1}{n}) 发散，故原级数发散。

    2. 积分判别法：当 (p > 1)，计算积分 (int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx) 收敛，故级数收敛。

    例题2：判断级数 (sum_{n=1}^{infty} frac{n^2 + 3}{2n^3
  • 1}) 的敛散性

    • 解析：

  • 极限比较法：

    • 1. 取比较级数 (sum frac{1}{n})。

    2. 计算极限：(lim_{n

    o infty} frac{n^2 + 3}{2n^3

  • 1} cdot n = frac{1}{2})。

    • 3. 因 (sum frac{1}{n}) 发散，故原级数发散。

    二、比值与根值判别法

    例题3：判断级数 (sum_{n=1}^{infty} frac{3^n}{n!}) 的敛散性

    解析：

  • 比值判别法：

    • 1. 计算极限：(lim_{n

    o infty} frac{3^{n+1}}{(n+1)!} cdot frac{n!}{3^n} = lim_{n

    o infty} frac{3}{n+1} = 0 < 1)。

    高考真题中的无穷级数收敛性典型例题精讲

    2. 结论：级数收敛。

    例题4：判断级数 (sum_{n=1}^{infty} left( frac{2n}{3n+1} right)^n) 的敛散性

    解析：

  • 根值判别法：

    • 1. 计算极限：(lim_{n

    o infty} sqrt[n]{left( frac{2n}{3n+1} right)^n} = lim_{n

    o infty} frac{2n}{3n+1} = frac{2}{3} < 1)。

    2. 结论：级数收敛。

    三、交错级数判别法

    例题5：判断级数 (sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{1}{sqrt{n}}) 的敛散性

    解析：

  • 莱布尼茨判别法：

    • 1. 单调性：(frac{1}{sqrt{n}}) 单调递减且趋于0。

    2. 结论：级数条件收敛（原级数收敛，但绝对值级数 (sum frac{1}{sqrt{n}}) 发散）。

    四、绝对收敛与条件收敛

    例题6：判断级数 (sum_{n=1}^{infty} (-1)^n frac{sin n}{n^2}) 的敛散性

    解析：

  • 绝对收敛判别：

    • 1. 绝对值级数 (sum frac{|sin n|}{n^2}) 满足 (frac{|sin n|}{n^2} leq frac{1}{n^2})。

    2. 因 (sum frac{1}{n^2}) 收敛，故原级数绝对收敛。

    五、综合应用

    例题7：级数 (sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n^p}) 的敛散性讨论

    解析：

  • 分情况讨论：

    • 1. 绝对收敛：当 (p > 1) 时，绝对值级数为收敛的p级数。

    2. 条件收敛：当 (0 < p leq 1) 时，绝对值级数发散，但原级数满足莱布尼茨条件。

    3. 发散：当 (p leq 0) 时，通项不趋于0。

    解题技巧总结

    1. 优先验证必要条件：若 (lim_{n

    o infty} a_n

    eq 0)，级数必发散。

    2. 正项级数优先选择比较法或比值法，交错级数使用莱布尼茨定理。

    3. 灵活转换判别法：如遇到含阶乘、指数项的级数，优先用比值或根值法；分式结构可尝试比较法。

    4. 注意绝对收敛与条件收敛的区别：绝对收敛级数可任意重排，条件收敛不可。

    通过以上例题解析，考生需熟练掌握不同判别法的适用场景，并结合高考真题特点，重点强化正项级数与交错级数的判别思路。