一、有序问题（排列问题）

核心特征：元素顺序不同视为不同结果，用排列数公式 ( A_n^m ) 计算。

例题1：数字排列问题

题目：用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，共有多少种不同的排列方式？

解析：

每个位置的选择有顺序要求，属于排列问题。

直接计算全排列：( A_5^5 = 5! = 120 ) 种。

关键点：数字的排列顺序不同即为不同的数，需用排列数公式。

引用：

例题2：特殊位置优先问题

题目：由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的五位奇数，共有多少种？

解析：

1. 特殊元素优先：末位必须是奇数（1,3,5），有 ( C_3^1 ) 种选择；

2. 首位排除0：剩余4个数中选择首位，有 ( C_4^1 ) 种；

3. 中间三位全排列：剩余3个数排列，有 ( A_4^3 ) 种。

总方法数：( C_3^1

imes C_4^1

imes A_4^3 = 3

imes 4

imes 24 = 288 ) 种。

关键点：顺序影响结果，需分步优先处理限制条件。

引用：

例题3：相邻元素问题（捆绑法）

题目：5人排队，甲和乙必须相邻，共有多少种排法？

解析：

1. 捆绑法：将甲乙视为一个整体，与其他3人排列，共 ( A_4^4 ) 种；

2. 内部排列：甲乙内部顺序有 ( A_2^2 ) 种。

总方法数：( A_4^4

imes A_2^2 = 24

imes 2 = 48 ) 种。

关键点：相邻元素需视为整体，再考虑内部顺序。

引用：

二、无序问题（组合问题）

核心特征：元素顺序无关，用组合数公式 ( C_n^m ) 计算。

例题4：分组问题

题目：将6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？

解析：

1. 无序分组：分组方式为 ( frac{C_6^2

imes C_4^2

imes C_2^2}{3!} )（消除组间顺序）；

2. 计算：( frac{15

imes 6

imes 1}{6} = 15 ) 种。

关键点：分组不考虑顺序，需除以组数的阶乘消除重复。

引用：

例题5：选人问题

题目：从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少1名男生，共有多少种选法？

解析：

1. 间接法：总选法 ( C_9^3 )，减去全女生的选法 ( C_4^3 )；

2. 结果：( C_9^3

  • C_4^3 = 84
  • 4 = 80 ) 种。

    • 关键点：组合问题中只需关注元素选择，不涉及顺序。

    引用：

    例题6：分配问题（隔板法）

    题目：将8个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少1个球，共有多少种方法？

    解析：

    1. 隔板法：将球排成一列，插入3块隔板，分4组，即 ( C_{7}^3 = 35 ) 种；

    关键点：分配相同元素时无需考虑顺序，用组合数简化计算。

    引用：

    三、综合对比

    | 问题类型 | 典型特征 | 公式应用 | 解题策略 |

    |--|--|--||

    | 有序（排列） | 顺序不同结果不同 | ( A_n^m ) | 特殊元素优先、捆绑法、插空法 |

    | 无序（组合） | 顺序不同结果相同 | ( C_n^m ) | 间接法、分组均分、隔板法 |

    总结：

    1. 判断标准：若交换元素位置后结果不同，则为排列问题；反之则为组合问题。

    2. 高频考点：数字排列、排队问题、分组分配、特殊元素限制。

    3. 易错点：混淆平均分组是否需要除序（如例题4），或误用排列公式处理组合问题。

    建议：通过以上例题分类练习，强化对有序/无序的区分能力，灵活选择排列或组合公式解题。