一、假设检验的基本步骤（解题框架）

1. 提出假设

  • 原假设（H₀）：通常为“无差异”或“无效果”的陈述，如“均值等于某值”或“变量间独立”。
  • 备择假设（H₁）：与原假设对立，如“均值不等于某值”或“变量相关”。

    • 示例：检验某批次产品合格率是否达到90%，则设 H₀: p=0.9，H₁: p≠0.9。

    2. 选择检验统计量

  • 均值检验：若总体方差已知用Z检验，未知用t检验（如样本均值与总体均值比较）。
  • 比例检验：用Z统计量（如合格率检验）。
  • 独立性检验：用卡方（χ²）检验（如列联表分析）。

    • 3. 确定显著性水平（α）和临界值

  • 高考题中通常给定α=0.05或0.01，需查表确定临界值（如Zₐ、tₐ或χ²临界值）。

    • 4. 计算统计量并比较

  • 根据样本数据计算统计量，与临界值对比，判断是否拒绝H₀。

    • 示例：若计算出的Z值超过Zₐ/2（双侧检验），则拒绝H₀。

    5. 结论

  • 结合题目语境解释结果，如“在显著性水平α下，有充分证据认为产品合格率未达标”。

    • 二、高考常见题型及解题技巧

    1. 均值检验

  • 场景：如检验机器生产的零件长度是否符合标准。
  • 方法：

    • 1. 设定H₀: μ=μ₀（如μ=4cm），H₁: μ≠μ₀。

    2. 计算样本均值与标准差，构造t统计量。

    3. 比较t值与临界值，判断是否拒绝H₀。

    示例题：某机器生产肥皂厚度应为5cm，抽样测得均值为5.3cm，需检验机器性能是否正常。

    2. 比例检验

  • 场景：如检验某药有效率是否高于80%。
  • 方法：
  • 用Z统计量：( Z = frac{hat{p}
  • p₀}{sqrt{p₀(1-p₀)/n}} )，与Zₐ比较。

    • 3. 独立性检验（卡方检验）

  • 场景：如分析性别与志愿选择是否相关。
  • 步骤：

    • 1. 列联表整理数据。

    2. 计算期望频数和卡方值：( χ² = sum frac{(实际频数-期望频数)^2}{期望频数} )。

    3. 比较χ²值与临界值，判断是否拒绝H₀。

    三、关键注意事项

    1. 审题与假设设定

  • 从题干中提取关键信息（如“是否有显著差异”），正确区分H₀和H₁。若题目要求证明“效果存在”，则H₁应为“存在效果”。

    • 2. 统计量的选择依据

  • 已知总体方差用Z检验，未知用小样本t检验；分类数据用卡方检验。

    • 3. 避免两类错误

  • 第一类错误（弃真）：H₀为真但被拒绝（概率为α）。
  • 第二类错误（取伪）：H₀为假但未被拒绝。需根据问题严重性控制α（如α=0.01更严格）。

    • 4. 计算与临界值精度

  • 高考题中可能简化计算，如直接给出临界值或要求保留3位小数。

    • 四、高考真题示例

    题目：某厂称其产品合格率为95%，质检部门抽查100件发现8件不合格，能否认为合格率低于95%（α=0.05）？

    解题步骤：

    1. H₀: p=0.95，H₁: p<0.95（单侧检验）。

    2. 计算样本合格率：( hat{p} = 92/100 = 0.92 )。

    3. 计算Z值：( Z = frac{0.92-0.95}{sqrt{0.95×0.05/100}} ≈ -1.38 )。

    4. 查表得Z₀.₀₅=1.645，因|Z|=1.38 < 1.645，不拒绝H₀。

    5. 结论：无充分证据表明合格率低于95%。

    假设检验的核心是小概率反证法，通过构造统计量和临界值比较，结合实际问题背景得出结论。高考中需熟练掌握均值、比例、独立性检验的步骤，注重审题与计算细节，避免因理解偏差或计算错误失分。