二项式定理在高考数学整除性问题中的应用是高频考点，其核心思路是通过展开式的变形将复杂表达式转化为含特定除数的倍数形式。以下是典型应用场景和解题方法

一、基本解题思路

1. 构造二项式形式

将待证表达式中的整数部分拆分为“除数倍数+余数”或“除数倍数±1”的形式，例如：

  • 将 (4^n) 写为 ((3+1)^n)，展开后含 (3^k) 的项可被3或9整除。
  • 将 (6^{2n}) 写为 ((7-1)^{2n})，展开后含 (7^k) 的项可被7整除。

    • 2. 展开后保留余数项

    展开二项式时，通常只保留最后1-2项（非倍数项），其余项为除数的倍数。例如：

  • 计算 (5555 div 8) 的余数时，将 (5555) 写为 ((56-1)^{55})，展开后仅末项 (-1) 需调整余数为7。

    • 3. 合并同类项

    将展开后的多项式合并，提取公共因子，证明整体能被除数整除。例如：

  • 证明 (4 cdot 6^n + 5^{n+1}
  • 9) 能被20整除，需分别展开 ((5+1)^n) 和 ((4+1)^n)，合并后得20的倍数。

    • 二、典型题型与示例

    1. 直接证明整除性

    例1：证明 (4^n + 15n

  • 1) 能被9整除。

    • 解法：

    将 (4^n) 写为 ((3+1)^n)，展开后得到：

    [

    4^n + 15n

  • 1 = (3+1)^n + 15n -1 = 3^k cdot

    ext{多项式} + 1 + 15n -1 = 9 cdot (

    ext{多项式} + 2n)

    • ]

    显然所有项均为9的倍数。

    例2：证明 (62^{2n}

  • 1) 是7的倍数。

    • 解法：

    二项式定理在高考数学整除性问题中的典型应用

    将 (62) 写为 (7

    imes 9 -1)，则：

    [

    62^{2n} = (7

    imes 9 -1)^{2n} = 7^k cdot

    ext{多项式} + (-1)^{2n} = 7k + 1

    ]

    故 (62^{2n} -1 = 7k)，能被7整除。

    2. 求余数问题

    例3：求 (5555^{55} div 8) 的余数。

    解法：

    将底数转换为 (8m -1) 形式：

    [

    5555 = 56

    imes 99 -1 implies (56-1)^{55} = 8k + (-1)^{55} = 8k -1 = 8(k-1) +7

    ]

    余数为7。

    例4：求 (91^{92} div 100) 的余数。

    解法：

    利用 ((90+1)^{92}) 展开，仅保留最后两项：

    [

    91^{92} = (90+1)^{92} = 100k + C_{92}^{1} cdot 90 cdot 1^{91} + 1 = 100k + 8280 +1 = 100k + 8281

    ]

    余数为81（因 (8281 div 100 = 82 cdots 81)）。

    三、关键技巧与注意事项

    1. 灵活拆分底数

  • 若除数为 (d)，可将底数写为 (d cdot m pm r)，例如 (6 = 5+1)、(62 = 7imes 9 -1)。

    • 2. 处理负号余数

  • 余数需调整为非负数，如展开后余数为 (-1)，实际余数为除数 (-1)（如 (8-1=7)）。

    • 3. 结合数学归纳法

  • 复杂问题可先用二项式定理展开，再用归纳法补充证明（如高次幂的整除性）。

    • 四、高考常见考点

    1. 选择题/填空题：直接求余数或判断整除性（如“被9整除的表达式”）。

    2. 综合题：结合数列或函数背景，需构造二项式并展开分析。

    通过上述方法，学生可快速识别题目中的二项式结构，利用展开式简化复杂运算，高效解决整除性问题。更多练习可参考高考真题中类似拆项与余数调整的题目。