一、特征根法的基本原理

特征根法用于求解线性递推数列的通项公式，其核心思想是通过构造特征方程，将递推关系转化为代数方程求解。该方法适用于形如 (a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n) 的二阶齐次线性递推关系，其中 (p, q) 为常数。

二、解题步骤详解

步骤1：构造特征方程

将递推式中的 (a_{n+2})、(a_{n+1})、(a_n) 分别替换为 (x^2)、(x)、1，得到特征方程：

[

x^2 = px + q quad

ext{或} quad x^2

  • px
  • q = 0

    • ]

    例如斐波那契数列 (a_{n+2} = a_{n+1} + a_n) 的特征方程为 (x^2 = x + 1)。

    步骤2：求解特征根

    解特征方程得到根 (alpha, beta)：

  • 情况1：两个不同实根（(alpha

    • eq beta)）

    通解形式为 (a_n = C_1 alpha^n + C_2 beta^n)，例如斐波那契数列通项公式为 (a_n = frac{sqrt{5}}{5} left(frac{1+sqrt{5}}{2}right)^n

  • frac{sqrt{5}}{5} left(frac{1-sqrt{5}}{2}right)^n)。
  • 情况2：重根（(alpha = beta)）

    • 通解形式为 (a_n = (C_1 + C_2 n) alpha^n)，例如递推式 (a_{n+2} = 4a_{n+1}

  • 4a_n) 的通解为 (a_n = (C_1 + C_2 n)2^n)。
  • 情况3：共轭复根（(alpha = a + bi, beta = a
  • bi)）

    • 通解形式为 (a_n = r^n (C_1 cos n

    heta + C_2 sin n

    heta))，其中 (r = sqrt{a^2 + b^2})，(

    heta = arctan frac{b}{a})。

    步骤3：确定待定系数

    利用初始条件（如 (a_1, a_2)）建立方程组求解 (C_1, C_2)。例如：

    [

    begin{cases}

    C_1 alpha + C_2 beta = a_1

    C_1 alpha^2 + C_2 beta^2 = a_2

    end{cases}

    ]

    通过消元法或矩阵法解出常数。

    三、非齐次递推方程的处理

    对于非齐次递推方程 (a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n + f(n))，需结合齐次通解与特解：

    1. 求齐次方程通解：按上述步骤求解齐次方程的通解。

    2. 构造特解：

  • 若 (f(n)) 为多项式，假设特解为同次多项式；
  • 若 (f(n)) 为指数函数 (k^n)，假设特解为 (A cdot k^n)；
  • 若 (f(n)) 为三角函数，假设特解为 (A cos n

    heta + B sin n

    heta)。

    • 3. 叠加通解与特解：最终通解为齐次通解与特解之和。

    四、高考真题应用技巧

    1. 快速识别递推类型：若题目给出形如 (a_{n+1} = frac{ma_n + c}{ka_n + b}) 的分式递推，可通过不动点法转化为线性递推。

    2. 简化计算：当特征根为无理数时（如斐波那契数列），可利用对称性直接写通项，避免复杂计算。

    3. 避免常见错误：

  • 重根情况漏写 (n) 的系数项；
  • 非齐次方程未验证特解是否与齐次解重复。

    • 五、典型例题解析

    例题：已知 (a_{n+2} = 5a_{n+1}

  • 6a_n)，(a_1=1, a_2=5)，求通项公式。

    • 解法：

    1. 特征方程：(x^2

  • 5x + 6 = 0)，解得 (alpha=2, beta=3)；

    • 2. 通解：(a_n = C_1 2^n + C_2 3^n)；

    3. 代入初始条件：

    [

    begin{cases}

    2C_1 + 3C_2 = 1

    4C_1 + 9C_2 = 5

    end{cases} Rightarrow C_1 = -1, C_2 = 1

    ]

    4. 最终通项：(a_n = -2^n + 3^n)。

    总结：特征根法的核心是通过代数化递推关系，将数列问题转化为方程求解。掌握特征根的分类处理及特解构造技巧，可高效应对高考中的复杂递推题型。