导数与几何公式速记：高考高频考点记忆秘诀

一、导数核心公式速记

1. 基本函数导数公式

幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$

记忆口诀：幂降一，原幂乘系数（如 $x^3$ 导数为 $3x^2$）。

指数函数：$(a^x)' = a^x ln a$，$(e^x)' = e^x$

技巧：自然指数 $e^x$ 导数不变。

对数函数：$(ln x)' = frac{1}{x}$，$(log_a x)' = frac{1}{x ln a}$

口诀：自然对数导数为倒数，底数对数倒数乘底对。

2. 四则运算规则

加减法：$(u pm v)' = u' pm v'$

乘法：$(uv)' = u'v + uv'$

口诀：前导后不导 + 前不导后导。

除法：$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v

uv'}{v^2}$

记忆：分子导减母导，分母平方要记牢。

3. 复合函数求导（链式法则）

若 $y = f(g(x))$，则 $y' = f'(g(x)) cdot g'(x)$

技巧：外层导乘内层导（如 $sin(2x)$ 导数为 $2cos(2x)$）。

二、几何意义与应用速记

1. 切线与斜率

几何意义：导数 $f'(x_0)$ 是曲线在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

切线方程：$y = f(x_0) + f'(x_0)(x

x_0)$

口诀：点斜式代入，斜率导数找。

2. 极值与单调性

极值条件：若 $f'(x_0) = 0$ 且符号变化，则 $x_0$ 是极值点。

二阶导数法：$f''(x_0) > 0$ 为极小值，$f''(x_0) < 0$ 为极大值。

技巧：一阶导判单调，二阶导定凹凸。

3. 最值问题

闭区间 $[a, b]$ 上的最值需比较端点值和极值点处的函数值。

三、高频题型解题口诀

1. 切线方程求法

已知切点：直接代入点斜式。

未知切点：设切点 $(x_0, y_0)$，联立方程组解 $x_0$。

口诀：切点坐标先设好，导数斜率联立消。

2. 公切线问题

两曲线存在公切线时，设切点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，满足：

斜率相等：$f'(x_1) = g'(x_2)$

切线方程重合：$frac{f(x_1)

g(x_2)}{x_1 - x_2} = f'(x_1)$

3. 隐零点问题

当导数方程 $f'(x) = 0$ 无法显式解时，通过设零点 $x = t$，转化为参数代入原函数。

四、易错点提醒

1. 导数为零不一定有极值

需验证导数符号变化（如 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处导数为零但无极值）。

2. 复合函数求导漏乘内层导数

例如 $sin(2x)$ 的导数为 $2cos(2x)$，易漏乘系数 2。

3. 几何意义混淆

切线方程需明确“在点”和“过点”的区别，前者已知切点，后者需解方程。

五、综合应用记忆策略

1. 图像辅助记忆

结合函数图像理解导数符号变化（如单调性、凹凸性）。

2. 口诀归纳

导数公式：“幂降一，指不变，对倒底对连”。

切线方程：“点斜式，斜率导，代入切点错不了”。

3. 真题演练强化

练习近 5 年高考真题中的导数压轴题，总结题型规律（如含参讨论、不等式证明）。

通过以上分类整理和口诀提炼，可快速掌握导数与几何公式的核心考点，建议结合真题反复演练，强化公式应用和几何意义理解。