高考复数复习指南：核心知识点与模拟题精选

一、核心知识点总结

1. 复数的基本概念

定义：形如 ( z = a + bi )（( a, b in mathbb{R} )，( i^2 = -1 )）的数称为复数，( a ) 为实部，( b ) 为虚部。

分类：

实数：虚部 ( b = 0 )。

虚数：虚部 ( b

eq 0 )。

纯虚数：实部 ( a = 0 ) 且虚部 ( b

eq 0 )（如 ( 3i )）。

注意：复数不能比较大小（除非均为实数）。

2. 复数的几何意义

复平面：复数 ( z = a + bi ) 对应复平面上的点 ( (a, b) )，模长 ( |z| = sqrt{a^2 + b^2} ) 表示点到原点的距离。

几何应用：复数模的几何意义常用于方程表示（如 ( |z

z_0| = r ) 表示以 ( z_0 ) 为圆心，半径 ( r ) 的圆）。

3. 复数的运算

四则运算：

加减法：实部、虚部分别相加减。

乘法：按多项式法则展开，注意 ( i^2 = -1 )。

除法：通过分母有理化（乘以共轭复数）计算。

幂运算周期性：( i^{4n} = 1 )，( i^{4n+1} = i )，( i^{4n+2} = -1 )，( i^{4n+3} = -i )（如 ( i^{2025} = i^{4imes 506 + 1} = i )）。

4. 共轭复数与模的性质

共轭复数：若 ( z = a + bi )，则其共轭 ( overline{z} = a

bi )，满足 ( z cdot overline{z} = |z|^2 ) 。

模的性质：

( |z_1 + z_2| leq |z_1| + |z_2| )（三角不等式）。

( |z_1 cdot z_2| = |z_1| cdot |z_2| ) 。

5. 复数与方程

复数相等：( a + bi = c + di Leftrightarrow a = c ) 且 ( b = d ) 。

一元二次方程：( ax^2 + bx + c = 0 ) 的解为 ( x = frac{-b pm sqrt{Delta}i}{2a} )（当判别式 ( Delta < 0 ) 时）。

二、模拟题精选与解析

1. 基础题

题目1：已知 ( z = frac{2

i}{3 + 2i} )，求 ( z ) 的虚部。

解析：通过分母有理化计算，虚部为 ( -frac{1}{10} ) 。

题目2：若 ( (1 + i)z = 1

i )，求 ( |z| )。

解析：解得 ( z = -i )，故 ( |z| = 1 ) 。

2. 中档题

题目3：复数 ( z ) 满足 ( |z

2| = 2 )，且 ( z + frac{1}{z} in mathbb{R} )，求 ( z )。

解析：设 ( z = x + yi )，结合几何意义和实数条件，解得 ( z = 4 ) 或 ( z = 1 pm i ) 。

题目4：计算 ( i + i^2 + i^3 + cdots + i^{100} )。

解析：利用周期性分组求和，结果为 ( 0 ) 。

3. 综合题

题目5：已知复数 ( z ) 在复平面上对应点位于第三象限，且 ( z^2 = -5 + 12i )，求 ( z )。

解析：设 ( z = a + bi )，解得 ( z = -3

2i ) 。

题目6：若 ( omega = -frac{1}{2} + frac{sqrt{3}}{2}i )，求 ( omega^3 ) 及 ( 1 + omega + omega^2 ) 的值。

解析：由 ( omega^3 = 1 )，得 ( 1 + omega + omega^2 = 0 ) 。

三、复习建议

1. 知识梳理：结合复数的代数形式、几何意义及运算性质，建立知识框架。

2. 真题演练：重点练习近年高考真题中的复数题（如2023年全国卷中复数的四则运算与几何意义）。

3. 易错点强化：

复数比较大小错误（如误判 ( 1 + i > 1 )）。

忽略纯虚数的条件（需满足实部为0且虚部非0）。

参考资料：

百度文库《复数知识点总结》

知乎专栏《高三数学复习知识点之复数》

2025年高考数学一轮复习讲义

高中数学复数练习题及解析

如需详细解答或更多题目，可参考上述来源链接。