一、解题技巧总结

1. 利用导数研究单调性

函数单调性与导数的关系：

  • 若 ( f'(x) geq 0 ) 在区间上恒成立，则函数单调递增；
  • 若 ( f'(x) leq 0 ) 在区间上恒成立，则函数单调递减。

    • 关键步骤：求导后需判断导函数符号，通常结合分类讨论或分离参数法处理。

    2. 分类讨论法

  • 适用场景：导函数为二次型或因式分解后含参数的情况。
  • 步骤：

    • ① 求导后整理为多项式形式；

    ② 讨论导函数根的分布（如有无实根、根的大小关系）；

    ③ 结合区间端点值确定参数范围。

    例：若 ( f'(x) = ax^2 + bx + c )，需讨论 ( a )、判别式 ( Delta )、根的位置。

    3. 分离参数法

  • 适用场景：参数可单独分离到不等式一侧。
  • 步骤：

    • ① 将含参数的不等式转化为 ( a geq g(x) ) 或 ( a leq g(x) )；

    ② 求 ( g(x) ) 的最值（利用导数或基本不等式）；

    ③ 根据不等式方向确定参数范围。

    例：若 ( f(x) = e^x

  • aln x ) 在区间上单调递增，需分离为 ( a leq frac{e^x}{x} )，再求最值。

    • 4. 隐零点问题

  • 当导函数零点无法显式表达时，需通过零点存在性定理或单调性判断零点范围，再结合不等式求参数。

    • 5. 易错点提醒

  • 定义域限制：求导前需明确函数定义域，避免遗漏约束条件。
  • 等号是否取到：已知函数在区间单调时，导函数是否允许取等号（如 ( f'(x) geq 0 ) 但 ( f'(x) = 0 ) 仅在孤立点成立）。

    • 二、高考真题演练

    1. 【2023新课标Ⅱ卷】

    题目：已知函数 ( f(x) = a e^x

  • ln x ) 在区间 ( (1,2) ) 上单调递增，求 ( a ) 的最小值。

    • 解析：

  • 求导：( f'(x) = a e^x
  • frac{1}{x} )；
  • 单调递增条件：( a e^x geq frac{1}{x} ) 在 ( (1,2) ) 上恒成立；
  • 分离参数：( a geq frac{1}{x e^x} )，令 ( g(x) = frac{1}{x e^x} )，求 ( g(x) ) 的最大值；
  • 计算 ( g'(x) = -frac{e^x (x+1)}{(x e^x)^2} )，可知 ( g(x) ) 在 ( (1,2) ) 上单调递减，故最大值为 ( g(1) = frac{1}{e} )；
  • 答案：( a_{ext{min}} = frac{1}{e} )（选项C）。

    • 2. 【2023全国乙卷】

    题目：设 ( a in mathbb{R} )，若函数 ( f(x) = cos(2x) + a sin x ) 在 ( (0, pi) ) 上单调递增，求 ( a ) 的取值范围。

    解析：

  • 求导：( f'(x) = -2 sin(2x) + a cos x )；
  • 单调递增条件：( -4 sin x cos x + a cos x geq 0 )，整理为 ( cos x (a
  • 4 sin x) geq 0 )；
  • 讨论 ( cos x ) 的符号：
  • 当 ( x in (0, frac{pi}{2}) )，( cos x > 0 )，需 ( a geq 4 sin x )；
  • 当 ( x in (frac{pi}{2}, pi) )，( cos x < 0 )，需 ( a leq 4 sin x )；
  • 综合得：( a geq 4 sin x ) 在 ( (0, frac{pi}{2}) ) 的最大值为 ( 4 )，同时 ( a leq 4 sin x ) 在 ( (frac{pi}{2}, pi) ) 的最小值为 ( 0 )；
  • 答案：( a in [0,4] ) 。

    • 3. 【2020新高考Ⅱ卷】

    题目：已知函数 ( f(x) = x^3

  • 3x^2 + ax )，若 ( f(x) ) 在 ( (1,+infty) ) 上单调递增，求 ( a ) 的取值范围。

    • 解析：

  • 求导：( f'(x) = 3x^2
  • 6x + a )；
  • 单调递增条件：( 3x^2
  • 6x + a geq 0 ) 在 ( (1,+infty) ) 上恒成立；
  • 分离参数：( a geq -3x^2 + 6x )，令 ( g(x) = -3x^2 + 6x )，求 ( g(x) ) 的最大值；
  • ( g(x) ) 是开口向下的抛物线，顶点在 ( x=1 )，最大值为 ( g(1) = 3 )；
  • 答案：( a geq 3 ) 。

    • 三、实战技巧强化

    1. 二次型导数的快速处理

  • 若 ( f'(x) = ax^2 + bx + c )，优先考虑因式分解或判别式 ( Delta )。
  • 例：讨论 ( f'(x) = x^2
  • (a+1)x + a ) 的符号时，分解为 ( (x-1)(x-a) )，再根据 ( a ) 与区间端点的关系分类。

    • 2. 端点代入法

  • 当导函数在区间端点处取得极值时，直接代入端点值验证。
  • 例：若 ( f'(x) = e^x
  • 2ax )，区间为 ( [0,1] )，则需验证 ( f'(0) geq 0 ) 和 ( f'(1) geq 0 ) 。

    • 3. 构造函数法

  • 对于不等式 ( a geq g(x) )，可构造辅助函数 ( h(a) = a
  • g(x) )，利用导数分析单调性。

    • 四、总结

    解决函数单调性参数问题的核心是导数符号分析，需结合分类讨论、分离参数等方法，并注意定义域和等号的特殊情形。高考真题中多考查二次型导数的处理，建议通过真题演练强化思维，掌握快速解题技巧。