复数三角形式为 ( z = r(cos

heta + isin

heta) )，其中：

  • ( r ) 是复数的模，即 ( r = sqrt{a^2 + b^2} )；
  • (heta ) 是复数的辐角，表示向量与实轴正方向的夹角，取值范围为 ( [0, 2pi) ) 。

    • 二、乘除法规则及几何意义

    1. 乘法规则

  • 代数公式：若 ( z_1 = r_1(cos

    heta_1 + isin

    heta_1) )，( z_2 = r_2(cos

    heta_2 + isin

    heta_2) )，则：

    • [

    z_1 cdot z_2 = r_1 r_2 left[ cos(

    heta_1 +

    heta_2) + isin(

    heta_1 +

    heta_2) right]

    ]

  • 几何意义：模变为原模的乘积，向量绕原点逆时针旋转 (heta_2 ) 角，再缩放 ( r_2 ) 倍 。

    • 2. 除法规则

  • 代数公式：

    • [

    frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2} left[ cos(

    heta_1

  • heta_2) + isin(

    heta_1

  • heta_2) right]

    • ]

  • 几何意义：模缩小为原来的 ( frac{1}{r_2} )，向量绕原点顺时针旋转 (heta_2 ) 角 。

    • 三、高考典型例题解析

    例题1：复数三角形式的转换

    题目：将 ( z = 1

  • sqrt{3}i ) 转化为三角形式。

    • 解析：

    1. 计算模：( r = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2} = 2 )；

    2. 求辐角：(

    an

    heta = frac{-sqrt{3}}{1} )，因点在第四象限，故 (

    heta = frac{5pi}{3} )；

    3. 三角形式：( z = 2left( cosfrac{5pi}{3} + isinfrac{5pi}{3} right) ) 。

    例题2：复数乘法运算

    题目：已知 ( z_1 = 2left( cosfrac{pi}{3} + isinfrac{pi}{3} right) )，( z_2 = 3left( cosfrac{pi}{6} + isinfrac{pi}{6} right) )，求 ( z_1 cdot z_2 )。

    解析：

  • 模相乘：( 2imes 3 = 6 )；
  • 辐角相加：( frac{pi}{3} + frac{pi}{6} = frac{pi}{2} )；
  • 结果：( z_1 z_2 = 6left( cosfrac{pi}{2} + isinfrac{pi}{2} right) = 6i ) 。

    • 例题3：复数除法与辐角主值

    题目：已知 ( z = frac{4left( cosfrac{3pi}{4} + isinfrac{3pi}{4} right)}{2left( cosfrac{pi}{4} + isinfrac{pi}{4} right)} )，求 ( z ) 的辐角主值。

    解析：

  • 模相除：( frac{4}{2} = 2 )；
  • 辐角相减：( frac{3pi}{4}
  • frac{pi}{4} = frac{pi}{2} )；
  • 辐角主值：( frac{pi}{2} in [0, 2pi) )，故答案为 ( frac{pi}{2} ) 。

    • 四、高考命题趋势与解题技巧

    1. 命题趋势：

  • 结合代数形式与三角形式转换（如例题1）；
  • 考查乘除法的几何意义（如旋转、缩放）。

    • 2. 解题技巧：

  • 代数转三角：计算模和辐角时注意象限判断；
  • 简化运算：优先用三角形式进行乘除运算，避免复杂代数计算；
  • 辐角处理：结果辐角若超过 ( 2pi )，需减去 ( 2pi ) 取主值 。

    • 复数的三角形式在乘除运算中具有显著优势，其几何意义（旋转与缩放）是高考高频考点。掌握模与辐角的计算规则，并通过典型例题熟悉题型，是应对复数相关问题的关键 。